Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD
AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Решение
Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?
Решение
Решение
Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности. Решение
Убрать все задачи
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
РешениеПроекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?
РешениеВ треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась 1/k площади данного треугольника (k – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на p равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)
РешениеДан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.
Решение
Задачи
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 102]
Дана последовательность {xk} такая, что x1=1 , xn+1=n sin xn+1 .
Докажите, что последовательность непериодична.
Для какого наибольшего n можно придумать две бесконечные в обе стороны
последовательности A и B такие, что любой кусок последовательности B
длиной n содержится в A, A имеет период 1995, а B этим свойством не
обладает (непериодична или имеет период другой длины)?
Последовательность Морса.
Бесконечная последовательность
из нулей и единиц
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности?
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 102]
Задача 110058 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 107794 |
|
|
Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.
|
|
|
Решение |
Задача 97976 |
|
|
Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B".
Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.
|
|
|
Решение |
Задача 60911[Последовательность Морса] |
|
|
0110 1001 1001 0110 1001...
построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем
делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже
написанному куску последовательности приписывается новый кусок
той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а
единиц — нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности?
|
|
|
Решение |
Задача 30388 |
|
|
Найдите остаток от деления 2100 на 3.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 102]
