Каталог по темам

Задачи

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 2247]

Задача 67313

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 78257

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Прислать комментарий Решение

Задача 98148

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Седракян Н.

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98397

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M.
Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98552

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Токарева И.

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1 (при k = 1, 2, 3, ...) получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 2247]