Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 354]

Задача 78493

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию: a_i ≥ k.
Доказать, что a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 98264

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98392

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Правильные многогранники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
x² + y² = A,
|x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
x² + y² + z² = C,
|x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98424

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Канель-Белов А.Я.

На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ – сколько всего чисел на первой доске, b₁ – сколько там чисел, больших единицы, b₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105210

Темы:	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Неравенства с углами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 354]