В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения диагналей AD и CF, R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и BE. Известно, что  AP = PF,  BR = CR  и  DQ = EQ.  Докажите, что точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.

   Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 , BB1 , CC1 . На стороне BC взята точка K , для которой BB1K = BAC , а на стороне AB – точка M , для которой BB1M = ACB ; L – точка пересечения высоты BB1 и отрезка A1C1 . Докажите, что четырёхугольник B1KLM – описанный.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 375]      

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 , BB1 , CC1 . На стороне BC взята точка K , для которой BB1K = BAC , а на стороне AB – точка M , для которой BB1M = ACB ; L – точка пересечения высоты BB1 и отрезка A1C1 . Докажите, что четырёхугольник B1KLM – описанный.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Секущая, проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в точках M и N. Касательные к окружностям S₁ и S₂ в точке A пересекаются прямыми BN и BM в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и MN параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 375]