Каталог по темам

Задачи

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 374]

Задача 111827

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Полянский А.

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок AA₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A₁C₁ и A₁B₁ пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что ∠PQR = ∠B₁QC₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 116455

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что AD = ⅓ AC, CE = ⅓ CE. Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116872

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55460

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Основание каждой высоты треугольника проектируется на стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64465

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 374]