Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 372]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116723

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку I пересечения биссектрис. В треугольниках ABI, BCI и CAI тоже отметили точки пересечения биссектрис – L, K и J соответственно. Найдите угол KJL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108215

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM . Докажите, что точки O , K , B , L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115368

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115448

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O  — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64474

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 372]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями