Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB ^. CD + BC ^. ADAC ^. BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

   Решение

---

Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?

   Решение

---

В треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась ¹/_k площади данного треугольника (k – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на p равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56464

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56465

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На основании AD трапеции ABCD взята точка  E так, что  AE = BC.  Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если  BO = PD,  то  AD² = BC² + AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56467

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ – на другой. Докажите, что если  AB₁ || BA₁  и  AC₁ || CA₁,  то  BC₁ || CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ || BA₁,  AC₁ || CA₁  и  BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109012

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась ¹/_k площади данного треугольника (k – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на p равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56470

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если  KM = NL,  то  KO = PL.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями