Каталог по темам

Задачи

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 354]

Задача 78630

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Метод координат в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.

Прислать комментарий Решение

Задача 109198

Темы:	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57076

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тригонометрический круг	]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что при n ≥ 6 правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77963

Темы:	[	Вычисление углов	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В равнобедренном треугольнике ABC ∠ABC = 20°. На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что ∠PAC = 50° и ∠QCA = 60°.
Докажите, что ∠PQC = 30°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79499

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 354]