ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Теория графов >> Теория графов (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$cos A,
cos$\displaystyle \beta$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$cos B,
cos$\displaystyle \gamma$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$cos C,
(8.6)

и, кроме того, величины $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $ \pi$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. (8.7)


Вниз   Решение

Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла – острые. Докажите, что все его плоские углы – также острые.

ВверхВниз   Решение

Автор: Пушкарев И.А.

Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]      

  с решениями  

Задача 98469

Темы:   [ Призма (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
  а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65640

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Автор: Фольклор

Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73751

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Медников Л.Э.

n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109490

Темы:   [ Раскраски ]
[ Четность и нечетность ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Пятиугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Пушкарев И.А.

Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116047

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).

  а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?

  б) Пусть стёрлись k записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем k всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .