Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые
из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то
из них. Докажите, что можно рассадить всех участников
олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она
выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а
вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди
открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и
достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход
Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же
достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее
количество очков Василиса может гарантированно заработать?
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 81]
Фильтр
