Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 60]

Задача 111351

Темы:	[	Группы движений (самосовмещений) правильных многогранников	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 7-
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

Прислать комментарий Решение

Задача 107764

Темы:	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Перестройки	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109662

Темы:	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

Прислать комментарий Решение

Задача 109806

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Прислать комментарий Решение

Задача 73665

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Метод ГМТ в пространстве	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Объем помогает решить задачу	]

Сложность: 10-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 60]