Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 233]

Задача 109842

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 1,2

Автор: Голованов А.С.

Последовательности положительных чисел (x_n) и (y_n) удовлетворяют условиям при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x₁, x₂, y₁, y₂ больше 1, то x_n > y_n при каком-нибудь натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60577

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F_m, единственным образом можно представит в виде

n = $\displaystyle \sum\limits_{k=2}^{m}$ b_kF_k,

где все числа b₂, ..., b_m равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b_kb_{k + 1} = 0 (2 $\leqslant$ k $\leqslant$ m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

n = (b_k...b₂)_F.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61474

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Дискретное распределение	]
	[	Производящие функции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61480

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Определим последовательности {x_n} и {y_n} при помощи условий:

x_n = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}sin² $\displaystyle \alpha$ , y_n = y_{n - 1} + 2x_{n - 1}cos² $\displaystyle \alpha$ ; x₀ = 0, y₀ = cos $\displaystyle \alpha$ .

Найдите выражение для x_n и y_n через n и $\alpha$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 65210

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Производящие функции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Высоцкий И.

День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 233]