Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]

Задача 64343

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Заславский А.А., Протасов В.Ю.

Трапеция ABCD вписана в окружность w (AD || BC). Окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются оснований трапеции BC и AD в точках P и Q соответственно. Точки X и Y – середины дуг BC и AD окружности w, не содержащих точек A и B соответственно. Докажите, что прямые XP и YQ пересекаются на окружности w.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66932

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

К вписанной окружности треугольника $ABC$ проведена касательная, параллельная $BC$. Она пересекает внешнюю биссектрису угла $A$ в точке $X$. Точка $Y$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности. Докажите, что угол $XIY$ прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 66697

Темы:	[	Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64350

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111687

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

На сторонах AC и BC неравнобедренного треугольника ABC во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники AB'C и CA'B с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины C к отрезку A'B', пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB в точке C₁. Найдите угол AC₁B.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]