Страница:
<< 132 133 134 135
136 137 138 >> [Всего задач: 694]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Для каждой пары действительных чисел
a и
b рассмотрим последовательность
чисел
pn = [2{
an +
b}]. Любые
k подряд идущих членов этой
последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из
нулей и единиц длины
k будет словом последовательности, заданной некоторыми
a и
b при
k = 4; при
k = 5?
Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + 1/n, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
Страница:
<< 132 133 134 135
136 137 138 >> [Всего задач: 694]
Фильтр
Решение 
