Версия для печати
Убрать все задачи

---

Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 104019

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

На день рождения Олегу подарили набор равных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 см. Олег взял все эти треугольники и сложил из них квадрат. Докажите, что треугольников было чётное количество.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110223

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116409

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Теория графов (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116592

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разложение на множители ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Петя выбрал натуральное число  a > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + a,  1 + a²,  1 + a³,  ...,  1 + a¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30305

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями