Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 109]

Задача 110791

Темы:	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 116688

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115410

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Окружность с центром I касается сторон AB , BC , AC неравнобедренного треугольника ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности ω_B и ω_C вписаны в четырехугольники BA₁IC₁ и CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к ω_B и ω_C , отличная от IA₁ , проходит через точку A .

Прислать комментарий Решение

Задача 37006

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

В тетраэдре DABC ∠ACB = ∠ADB, ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111711

Темы:	[	Концентрические окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A . Пусть B — произвольная точка одной из этих окружностей, C — другой. Для каждого треугольника ABC рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K , причем одна окружность касается прямой AB в точке B , а другая — прямой AC в точке C . Найдите ГМТ K .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 109]