Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 328]

Задача 30781

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30905

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Показательные неравенства	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7

Какое из чисел (10 двоек) или (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35713

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что число делится на 2^k и не делится на 2^k+1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35739

Темы:	[	Задачи на смеси и концентрации	]
	[	Инварианты и полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Имеется два стакана, в первом стакане налито некоторое количество воды, а во втором – такое же количество спирта. Разрешается переливать некоторое количество жидкости из одного стакана в другой (при этом раствор равномерно перемешивается). Можно ли с помощью таких операций получить в первом стакане раствор, в котором процентное содержание спирта больше, чем во втором?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60488

[Алгоритм Евклида]

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа, 0 < m₁ ≤ m₀. Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0, a_k > 1,
m₀ = m₁a₀ + m₂,
m₁ = m₂a₁ + m₃,
m₂ = m₃a₂ + m₄,
...
m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
m_k–1 = m_ka_k,
и (m₀, m₁) = m_k.

б) Докажите, что для любого s от k – 1 до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что m_su_s + m_s+1v_s = d, где d = (m₀, m₁).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m₀u + m₁v = d.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 328]