Страница:
<< 135 136 137 138
139 140 141 >> [Всего задач: 2440]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что 751 – 1 делится на 103.
|
[Усиление теоремы Эйлера]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
– разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим 
Докажите, что aλ(m) ≡ 1 (mod m) для любого целого числа a, взаимно простого с m.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Укажите все целые числа x, удовлетворяющие системам:
а) x ≡ 3 (mod 5),
x ≡ 7 (mod 17);
б) x ≡ 2 (mod 13),
x ≡ 4 (mod 19).
|
[Больное войско]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов
2×2.
|
[Алгоритм Евклида для многочленов]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A0(x), A1(x), ..., As(x) и R1(x), ..., Rs(x), что degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
...
Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и (P(x), Q(x)) = Rs(x).
Страница:
<< 135 136 137 138
139 140 141 >> [Всего задач: 2440]
Фильтр
