Версия для печати
Убрать все задачи

---

Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов 2×2.

   Решение

Страница: << 135 136 137 138 139 140 141 >> [Всего задач: 2440]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60780

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что  7⁵¹ – 1  делится на 103.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60788  [Усиление теоремы Эйлера]

Тема:   [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

  – разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим  
Докажите, что  a^λ(m) ≡ 1 (mod m)  для любого целого числа a, взаимно простого с m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60826

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Укажите все целые числа x, удовлетворяющие системам:
  а)   x ≡ 3 (mod 5),
        x ≡ 7 (mod 17);
  б)   x ≡ 2 (mod 13),
        x ≡ 4 (mod 19).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60837  [Больное войско]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов 2×2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60989  [Алгоритм Евклида для многочленов]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A₀(x), A₁(x), ..., A_s(x)  и  R₁(x), ..., R_s(x),  что  degQ(x) > degR₁(x) > degR₂(x) > ... > degR_s(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A₀(x) + R₁(x),
    Q(x) = R₁(x)A₁(x) + R₂(x),
    R₁(x) = R₂(x)A₂(x) + R₃(x),
      ...
    R_s–2(x) = R_s–1(x)A_s–1(x) + R_s(x),
    R_s–1(x) = R_s(x)A_s(x)
и  (P(x), Q(x)) = R_s(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 135 136 137 138 139 140 141 >> [Всего задач: 2440]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями