Каталог по темам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 366]

Задача 109529

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов Д.Ю.

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5ⁿ равна 2ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60655

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Натуральные числа m и n таковы, что m > n, m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и m + n от деления на m – n.
Найдите отношение m : n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60724

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
а) x² + y² = 2003;
б) 12x + 5 = y²;
в) – x² + 7y³ + 6 = 0;
г) x² + y² + z² = 1999;
д) 15x² – 7y² = 9;
е) x² – 5y + 3 = 0;
ж)
з) 8x³ – 13y³ = 17.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60819

Темы:	[	Признаки делимости (прочее)	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61493

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 366]