Страница:
<< 62 63 64 65
66 67 68 >> [Всего задач: 375]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C1, B1; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C2, A2. Докажите, что прямые B1C1, A2C2 и CC' пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором AB > BC. Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что ∠CKM = 90°.
В остроугольном треугольнике проведены высоты
AA1
,
BB1
,
CC1
. На стороне
BC взята точка
K , для
которой
BB1
K = BAC , а на стороне
AB
– точка
M , для которой
BB1
M = ACB ;
L – точка пересечения высоты
BB1
и отрезка
A1
C1
. Докажите, что четырёхугольник
B1
KLM –
описанный.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Секущая,
проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в
точках M и N. Касательные к окружностям S1 и S2 в точке A
пересекаются прямыми BN и BM в точках P и Q соответственно.
Докажите, что прямые PQ и MN параллельны.
Страница:
<< 62 63 64 65
66 67 68 >> [Всего задач: 375]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Четырехугольники
>>
Вписанные четырехугольники
>>
Вписанные четырехугольники (прочее)
Решение
Решение 
