Каталог по темам

Задачи

Страница: << 145 146 147 148 149 150 151 >> [Всего задач: 1024]

Задача 54786

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника взяты точки A₁, B₁, C₁ соответственно, причём радиусы окружностей, вписанных в треугольники A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C, равны между собой и равны r. Радиус окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C₁, равен r₁. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58341

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Прислать комментарий Решение

Задача 64366

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65375

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65802

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 145 146 147 148 149 150 151 >> [Всего задач: 1024]