Каталог по темам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 204]

Задача 66641

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Куб	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.

А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы

а) произвольного куба;

б) произвольного правильного тетраэдра?

(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 73677

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Степень вершины	]
	[	Куб	]
	[	Остовы многогранных фигур	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Константинов Н.Н., Васильев Н.Б.

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.

б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111834

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Свойства разверток	]
	[	Куб	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Полянский А.

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79245

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Куб	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 4
Классы: 10

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 87069

Темы:	[	Кратчайший путь по поверхности	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Куб	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 4. На середине ребра BC взята точка M , а на ребре A1D1 на расстоянии 1 от вершины A1 взята точка N . Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 204]