Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 76]

Задача 105202

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что n недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65696

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73743

Темы:	[	Средние величины	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Пеллер В.Б.

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x₁, x₂, x₃, ..., x₉, x₁₀ равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x₁, ½ (x₁ + x₂), ⅓ (x₁ + x₂ + x₃), ..., ¹/₁₀ (x₁ + x₂ + ... + x₁₀)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78800

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 11

Даны два набора чисел: a₁, ..., a_n и b₁, ..., b_n. Расположим числа a_k в возрастающем порядке, а числа b_k – в убывающем порядке. Получатся наборы
A₁ ≤ ... ≤ A_n, B₁ ≥ ... ≥ B_n. Доказать, что max{a₁ + b₁, ..., a_n + b_n} ≥ max{A₁ + B₁, ..., A_n + B_n}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115986

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 76]