Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 70]
На окружности длины 15 выбрано
n точек, так что для каждой имеется ровно
одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2
(расстояние измеряется по окружности). Докажите, что
n делится на 10.
На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1
перпендикулярно к AnA1.
|
[Метод Лобачевского]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 имеет корни x1, x2, ..., xn, причем |x1| > |x2| > ... > |xn|. В задаче 60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа 
На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов P0(x), P1(x), P2(x), ..., что P0(x) = P(x) и многочлен Pk(x) имеет корни
Пусть 
Докажите, что
а) 
б) 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло
быть наименьшее число орехов в собранной куче?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей K = p1p2...pn; затем вычисляется сумма p1 + p2 + ... + pn + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 70]
Фильтр
Решение 
