Каталог по темам

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 372]

Задача 108946

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 , BB1 , CC1 . На стороне BC взята точка K , для которой BB1K = BAC , а на стороне AB – точка M , для которой BB1M = ACB ; L – точка пересечения высоты BB1 и отрезка A1C1 . Докажите, что четырёхугольник B1KLM – описанный.

Прислать комментарий Решение

Задача 52857

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Секущая, проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в точках M и N. Касательные к окружностям S₁ и S₂ в точке A пересекаются прямыми BN и BM в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и MN параллельны.

Прислать комментарий Решение

Задача 54915

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Стороны четырёхугольника равны a, b, c и d. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $\sqrt{abcd}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 64924

Темы:	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
	[	Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Нилов Ф.

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108155

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Окружность S₁, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S₂, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S₁ вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S₃ с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 372]