Каталог по темам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 418]

Темы:	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального n > 2 число делится на 8.

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j) для всех i ≠ j. Докажите, что a_i = i для всех i ∈ N.

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Показательные неравенства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3ⁿ) ≥ S(3ⁿ⁺¹).

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Тен О.

Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число 2ⁿ – 1 делится на число (2^m – 1)² тогда и только тогда, когда число n делится на число m(2^m – 1).

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Признаки делимости (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 418]