Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

   Решение

---

Замостите плоскость одинаковыми а) пятиугольниками; б) семиугольниками.

   Решение

---

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60576

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим множество последовательностей длины n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно F_{n + 2}. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61460

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61461

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {a_n} имеет корень x₀ кратности 2. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35392

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60561

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

О том, как прыгают кузнечики. Предположим, что имеется лента, разбитая на клетки и уходящая вправо до бесконечности. На первой клетке этой ленты сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на две клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до n-ой от начала ленты клетки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями