Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 2393]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.).
Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2
числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз).
Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток,
опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему
помешать?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В тетраэдре
ABCD из вершины
A опустили перпендикуляры
AB' ,
AC' ,
AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах
CD ,
BD ,
BC
пополам. Докажите, что плоскость
(
B'C'D')
параллельна плоскости
(
BCD)
.
Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 2393]
Фильтр
