Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1547]      

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины A вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1547]