Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 204]      

Выпуклый многоугольник A₁...A_n лежит внутри окружности S₁, а выпуклый многоугольник B₁...B_m — внутри S₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A₁, ..., A_n лежит внутри S₂ или одна из точек B₁, ..., B_m лежит внутри S₁.

Прислать комментарий

Решение

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Прислать комментарий

Решение

а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?

б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).

в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 204]