Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 38]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что $AK = AC, BK = LC$. Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.
На плоскости расположены три окружности Ω1, Ω2, Ω3 радиусов r1, r2, r3 соответственно – каждая вне двух других, причём r1 > r2 и
r1 > r3. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω2 проведены касательные к окружности Ω3, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω3 проведены касательные к окружности Ω2. Докажите, что последние две пары
касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и
найдите её радиус.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и
через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный
треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток.
Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми,
образуют полоску.
а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие
две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх
направлений, если n = 10?
б) Тот же вопрос для n = 9.
В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка
M – на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O, AN : NB = 2 : 3, BO : OM = 5 : 2.
Найдите CO : ON.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A1, B1 и C1 соответственно, причём BA1 : A1C = CB1 : B1A = AC1 : C1B = 1 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA1, BB1 и CC1, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 38]
Фильтр
