Петя прибавил к натуральному числу N натуральное число M и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у N. Тогда он снова прибавил M к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у N?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 100]      

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. H – точка пересечения высот. На сторонах AB и BC выбраны точки M и K и соответственно так, что ∠KMH = 90°. Докажите, что из отрезков AK, CM и MK можно сложить прямоугольный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

Прислать комментарий

Решение

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Расстояние от точки X до центра правильного n-угольника равно d, r – радиус вписанной окружности n-угольника.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих стороны n-угольника, равна  n(r² + ½ d²).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна  ½ na²,  где a – сторона n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 100]