Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 177]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_1,\ldots,x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. Когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0\leqslant x_1\leqslant\ldots\leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}, ..., x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя.
По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0 \leqslant x_{1} \leqslant ... \leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые $N$ из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в конце кубика не зависит от места, с которого стартовал робот. Назовём $N$ удачным, если при любом выборе $N$ кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные $N$.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.
Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?
Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке.
Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
В треугольнике
ABC медианы
AD и
BE пересекаются в точке
M .
Докажите, что если угол
AMB а) прямой; б) острый, то
AC+BC >3
AB .
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 177]
Все авторы
>>
Богданов И.И. 
