Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111784

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.
Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111843

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111873

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Системы алгебраических неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что  1 + x⁴ ≤ 2(y – z)² 1 + y⁴ ≤ 2(z – x)²,  1 + z⁴ ≤ 2(x – y)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115899

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115986

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями