ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Богданов И.И.

Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 177]      



Задача 111765

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?
Прислать комментарий     Решение


Задача 115398

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

В треугольной пирамиде  ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках  ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер  AB , AC , AD .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109835

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 20, 21, 2², ..., 22005 можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115407

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих  100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k  раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110178

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Полуинварианты ]
[ Процессы и операции ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 177]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .