Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 90]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках
B1 и B2 соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C1 и C2 соответственно. Описанные окружности треугольников BB1B2 и CC1C2 пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. (
Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть точка
A' лежит на одной из сторон трапеции
ABCD , причём
прямая
AA' делит площадь трапеции пополам. Точки
B' ,
C' и
D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения
диагоналей четырёхугольников
ABCD и
A'B'C'D' симметричны
относительно середины средней линии трапеции
ABCD .
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 90]
Все авторы
>>
Емельянов Л.А. 
