Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108138

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108226

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109803

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66812

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109737

Темы:   [ Касательные к сферам ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Пересекающиеся сферы ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями