Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64336

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC:  ∠C = 60°,  ∠A = 45°.  Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66406

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Фиксированы окружность, описанная около остроугольного треугольника ABC, и вершина C. Ортоцентр H движется по окружности с центром в точке C. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин A и B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67138

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше 17 долларов. Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести из казино после такой игры?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116070

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах AB и CD квадрата ABCD взяты точки K и M соответственно, а на диагонали AC – точка L так, что ML = KL. Пусть P – точка пересечения отрезков MK и BD. Найдите угол KPL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65651

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Точка Лемуана ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями