Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.

   Решение

---

Докажите, что для угла Брокара выполняются следующие неравенства:
а) ( - )( - )( - );
б) 8 (неравенство Йиффа).

   Решение

---

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

   Решение

---

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65713  (#11.7)

Темы:   [ Соображения непрерывности ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65712  (#9.8)

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65714  (#10.8)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что  x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ = 2⁹⁹(x – y)  и  x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65740  (#11.8)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Натуральное число N представляется в виде  N = a₁ – a₂ = b₁ – b₂ = c₁ – c₂ = d₁ – d₂,  где a₁ и a₂ – квадраты, b₁ и b₂ – кубы, c₁ и c₂ – пятые степени, а d₁ и d₂ – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a₁, b₁, c₁ и d₁ найдутся два равных?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями