Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 48]
Задача
64364
(#11.6)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию
2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.
Задача
116937
(#9.7)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках
B1 и B2 соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C1 и C2 соответственно. Описанные окружности треугольников BB1B2 и CC1C2 пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.
Задача
116945
(#10.7)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
Задача
116953
(#11.7)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Задача
64350
(#9.7)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y.
Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.
Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
