Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему.

   Решение

---

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

   Решение

---

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65932

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65933

Тема:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Квадрат разрезали на n прямоугольников размером  a_i×b_i,  i = 1, ..., n.
При каком наименьшем n в наборе  {a₁, b₁, ..., a_n, b_n}  все числа могут оказаться различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65936

Темы:   [ Метод координат на плоскости ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дана окружность с центром в начале координат.
Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65942

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.
Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в
  а) центре грани,
  б) середине ребра,
если скорость распространения цунами 300 км/час?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65943

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.
Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями