Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

   Решение

---

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

   Решение

---

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109596  (#95.5.11.1)

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109597  (#95.5.11.2)

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109598  (#95.5.11.3)

Темы:   [ Необычные построения ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки подобия ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность    неограничена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109604  (#95.5.11.4)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109599  (#95.5.11.5)

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями