Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109603 (#95.5.10.3)

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого k = 1, 2, 3, ... сумма первых k членов последовательности делится на k?

Прислать комментарий Решение

Задача 109604 (#95.5.10.4)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 109605 (#95.5.10.5)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j) для всех i ≠ j. Докажите, что a_i = i для всех i ∈ N.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108196 (#95.5.10.6)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Купцов Л.

Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA,
MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109615 (#95.5.10.7)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Карпов Д.В.

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]