Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ⁿ⁺¹/₄.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109835  (#05.5.9.6)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108225  (#05.5.9.7)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109837  (#05.5.9.8)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция в геометрии ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109823  (#05.5.10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгоритм Евклида ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   ,   где a, b, c, d – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109824  (#05.5.10.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями