Версия для печати
Убрать все задачи

---

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A₀ – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C₀ – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S₁ с центром A₀ касается BC, окружность S₂ с центром C₀ касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

   Решение

---

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

   Решение

---

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108241  (#99.4.11.7)

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC  (AB > BC)  K и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что  QP ⊥ KM  и  QM || BO.  Докажите, что  QO ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110002  (#99.4.11.8)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109699  (#99.5.9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Ребусы ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9· A ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109700  (#99.5.9.2)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из N авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  N – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108154  (#99.5.9.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A₀ – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C₀ – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S₁ с центром A₀ касается BC, окружность S₂ с центром C₀ касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями