Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.

   Решение

---

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110165  (#04.4.8.1)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110166  (#04.4.8.2)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.

Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110167  (#04.4.8.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110168  (#04.4.8.4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Куб ] [ Шахматная раскраска ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110169  (#04.4.8.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Может ли в наборе из шести чисел  (a, b, c, ^a²/_b, ^b²/_c, ^c²/_a},  где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями