Версия для печати
Убрать все задачи

---

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.

   Решение

---

Постройте треугольник ABC по центрам вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей.

   Решение

---

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45^o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.

   Решение

---

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111770  (#07.4.11.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111763  (#07.4.11.2)

Темы:   [ Вычисление производной ] [ Неравенства с модулями ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111764  (#07.4.11.3)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111765  (#07.4.11.4)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111766  (#07.4.11.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число  aⁿ + bⁿ + cⁿ  – простое?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями