Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]

Задача 111785 (#07.4.9.8)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Прислать комментарий Решение

Задача 111770 (#06.4.10.1)

Тема:

[

Принцип Дирихле (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Волченков С.Г.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111771 (#07.4.10.2)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Для вещественных x > y > 0 и натуральных n > k докажите неравенство (x^k – y^k)ⁿ < (xⁿ – yⁿ)^k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111772 (#07.4.10.3)

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Прислать комментарий Решение

Задача 111860 (#07.4.10.4)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Исаев М.

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]