Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 111810 (#08.4.10.1)

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Сендеров В.А.

Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111803 (#08.4.10.2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Грибалко А.В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что MC = AC и NB = AB. Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111804 (#08.4.10.3)

Темы:	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111805 (#08.4.10.4)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Прислать комментарий Решение

Задача 111806 (#08.4.10.5)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]